Tradične sa uvádza, že trigonometriu, oblasť matematiky zaoberajúcu sa pomerom uhlov a strán v trojuholníkoch, vynašiel grécky astronóm Hipparchos v 2. storočí pred n. l. Dvaja austrálski matematici však tvrdia, že obyvatelia starovekej Mezopotámie položili základy trigonometrie vyše 1500 rokov pred Hipparchom. Nie všetci odborníci však s ich závermi súhlasia.
Učenci z Mezopotámie, oblasti medzi riekami Eufrat a Tigris, ktorá sa dnes rozprestiera prevažne na území Iraku, mali v staroveku povesť objaviteľov matematiky a astronómie. Vieme, že slávnu Pytagorovu vetu používali o niekoľko tisícročí predtým, než sa Pytagoras vôbec narodil, že po stáročia udržiavali presné záznamy o astronomických pozorovaniach, bez ktorých by Ptolemaios nedokázal odvodiť svoje revolučné výpočty o pohybe nebeských telies, a že dokázali odvodiť hodnotu √2 s presnosťou na päť desatinných miest. Len pred rokom preletela svetom správa o objave astronomického textu, ktorý ukázal, že babylonskí astronómovia používali metódy na výpočet plochy pod krivkou, o ktorých sme si dosiaľ mysleli, že boli vynájdené až v 14. storočí. Babylonský spôsob počítania, ktorý sa nezakladal na desiatkovej, ale na šesťdesiatkovej sústave, mal v priebehu dejín natoľko zásadný vplyv na to, ako uvažujeme o svete, že hodinu delíme na 60 minút a minútu na 60 sekúnd. Podobne aj delenie kruhu na 360 stupňov je babylonským vynálezom. Astronómom zo starovekej Mezopotámie zasa vďačíme za dvanásť súhvezdí zverokruhu.
Kedy sa oplatí počítať v desiatkovej a kedy v šesťdesiatkovej sústave?
Použitie šesťdesiatkovej (alebo tiež sexagesimálnej) sústavy na počítanie sa nám, ktorí sme zvyknutí pracovať s našou desiatkovou sústavou, môže javiť ako nepraktická voľba. Kým aj veľké čísla dokážeme v desiatkovej sústave zapísať pomerne prakticky pomocou malého počtu znakov, Babylončania, ktorých systém počítania bol síce šesťdesiatkový, ale využíval len dva základné numerické znaky – 1 a 10 – bol podstatne komplikovanejší.
Šesťdesiatková sústava má však mnohé výhody, ktoré chýbajú sústave desiatkovej a pre ktoré jej pravdepodobne starovekí Babylončania dali prednosť.
| Moderný desiatkový zápis | Starobabylonský zápis | Prepis v sexadecimálnej sústave |
| 1 |  |
1 |
| 10 | |
10 |
| 57 | |
57 |
| 470 | |
7|50 |
| 3229 | |
53|49 |
| 8161 | |
2|16|1 |
Umožňuje napríklad kombinovať počítanie v desiatkovej sústave (ktoré je odvodené od počtu prstov na ľudských rukách) a v sústave dvanástkovej (ktorá zodpovedá lepšie pohybu nebeských telies, predovšetkým počtu mesiacov v roku). Šesťdesiatku je tiež možné deliť na polovice, tretiny, štvrtiny, pätiny, šestiny, desatiny aj dvanástiny tak, že získame celé čísla, čo pri čísle desať nie je možné. Babylončania tak podľa všetkého zvolili šesťdesiatku (a jej násobok, číslo 360) ako ideálny východiskový bod pre delenie kruhu, vďaka čomu dokázali presne vyjadriť polohu Slnka, Mesiaca a planét na oblohe bez toho, aby potrebovali používať zložité zlomky. V systéme počítania založenom na kruhu o 360 stupňoch sa totiž Slnko každý deň posunie zhruba o jeden stupeň a za mesiac zhruba o 30 stupňov, pričom ak by bol kruh rozdelený na 100 jednotiek, denný pohyb by bolo potrebné vyjadriť ako 5/18 a mesačný pohyb ako 25/3.
Matematický div sveta?
Podľa Daniela Mansfielda a Normana Wildbergera z Univerzity v Novom Južnom Walese je počítanie v šesťdesiatkovej sústave tiež kľúčom k pochopeniu klinopisnej tabuľky známej ako Plimpton 322. Táto tabuľka nesie meno zberateľa G.A. Plimptona, ktorý ju zakúpil v roku 1922 a neskôr daroval Kolumbijskej univerzite (Columbia University) v meste New York, kde sa nachádza dnes. Tabuľku, ktorá meria zhruba 13 x 9 centimetrov, možno datovať do 19. alebo 18. storočia pred n. l., teda do obdobia vlády slávneho babylonského zákonodarcu Chammurapiho. Obsahuje 15-riadkovú tabuľku s numerickými hodnotami. V roku 1945 asýriológovia O. Neugebauer a A. J. Sachs po prvý raz ukázali, že nejde o nejaký účet alebo domácu úlohu, ale o matematickú pomôcku, ktorá udávala veľkosti strán pravouhlého trojuholníka, tzv. pytagorejské trojice (najznámejšou takouto trojicou sú čísla 3, 4 a 5).
Tabuľky s pytagorejskými trojicami boli už známe z iných klinopisných tabuliek. Nešlo teda o novinku. Odborníci ich považujú za školské cvičenia. Plimpton 322 však podľa dvojice z Austrálie obsahuje niekoľko neobvyklých prvkov, ktoré by boli zbytočné pre obyčajných školákov. V prvom rade tento dokument pracuje s číselnými hodnotami, ktoré sú neobvykle vysoké. Ďalej tabuľka obsahuje okrem údajov o veľkosti kratšej odvesny (b) a prepony (c) aj stĺpec s údajmi o druhej mocnine prepony (c2). Podľa Mansfielda a Wildbergera navyše v časti, ktorá je dnes odlomená, v ľavom hornom rohu, kde bol umiestnený aj popis pre údaje v prvom stĺpci, stálo, že hodnoty v tabuľke predstavujú pravouhlé trojuholníky s veľkosťou dlhšej odvesny (a) rovnou 1. Na základe Pytagorovej vety by teda z hodnôt c2 v prvom stĺpci tabuľky malo byť možné odvodiť aj hodnoty b2 (pričom a2 by sa v tomto prípade rovnalo 1). No a k tomu treba ešte dodať, že po prepočítaní modernými trigonometrickými funkciami vychádza, že každý riadok tabuľky zodpovedá uhlu o jeden stupeň väčšiemu ako predošlý riadok, a tabuľka tak pokrýva hodnoty uhlov od 45° do 59°. Niet sa teda čo čudovať, že za vyše 70 rokov, odkedy asýriológovia rozlúštili tabuľku Plimpton 322, sa k nej znova a znova vracajú matematici z celého sveta, aby sa pokúsili poodhaliť záhadu toho, načo slúžila. Mohlo skutočne ísť iba o zložitejšie matematické cvičenie pre študentov? Alebo ide v prípade tejto tabuľky o niečo viac?
Mansfield a Wildberger si myslia, že áno. Podľa ich teórie predstavuje Plimpton 322 komplikovanú, ale presnú trigonometrickú tabuľku. Podľa nich totiž starovekí Babylončania poznali trigonometriu, i keď nie v našej modernej podobe, ktorá sa zakladá na funkciách ako sínus a kosínus. Babylončania totiž nepracovali s uhlami a nedokázali vyjadriť iracionálne čísla, preto sa vyhýbali zložitým zlomkom (to bol tiež dôvod, prečo ci zvolili pre vyjadrenie kruhu 360 stupňov, ktorý bolo možné rozdeliť na menšie jednotky rôznymi spôsobmi bez potreby zlomkov). Podľa Mansfielda a Wildbergera boli matematici zo starovekej Mezopotámie napriek tomu schopní podobnej abstrakcie ako my dnes, hoci ju vyjadrili prostredníctvom sledu čísel a pomerov mocnín odvesien pravouhlého trojuholníka. Áno, Babylončania možno nepoznali sínus a kosínus, ale ak treba veriť teórii dvoch Austrálčanov, objavili vlastne funkciu tangens. Navyše, keďže používali sexagesimálnu sústavu, dokázali prostredníctvom aproximácie určiť veľkosti odvesien v pravouhlých trojuholníkoch presnejšie než používatelia decimálnej sústavy až do modernej doby. Ako ukázali Mansfield a Wildberger, je to zrejmé z porovnania tabuľky Plimpton 322 a trigonometrickej tabuľky indického matematika Madhávu (1340 – 1425).
Odborníci sú skeptickí
Napriek ohlasu, ktorý vzbudila teória dvoch akademikov z austrálskej univerzity na sociálnych médiách a v tlači, odborníci na starobabylonské písomné pamiatky a na mezopotámsku matematiku zostávajú k údajnému prevratnému objavu skôr vlažní. Matematička Evelyn Lambová pre Scientific American vysvetlila, že Mansfield a Wildberger nie sú zďaleka prvými, ktorí navrhli, že Plimpton 322 predstavuje trigonometrickú tabuľku. Ich teória podľa nej nie je ani revolučnejšia, ani lepšie podložená než teórie, ktoré už predložili iní. Podobne sa vyjadril aj Donald Allen, profesor matematiky na Texaskej univerzite, podľa ktorého sú teórie dvoch Austrálčanov špekulatívne a ich význam zbytočne nafúknutý médiami. Ako podotkol, bez objavu chýbajúcich častí tabuľky z jej ľavého horného rohu, a bez objavu ďalších podobných tabuliek, najlepšie aj s textom, ktorý by vysvetlil ich funkciu, zostávajú všetky teórie, ktorých bolo navrhnutých od roku 1945 viacero, len hypotézami. Podľa Eleanor Robsonovej, odborníčky na mezopotámsku matematiku z Cambridgskej univerzity, nie je tabuľka Plimpton 322 nič viac než školské cvičenie, v ktorom niektorí zbytočne hľadajú hlbší zmysel.
Odborníci tiež nesúhlasia s tým, že by starobabylonská tabuľka bola presnejšia ako moderné trigonometrické tabuľky a že by mala veľký význam pre vylepšenie moderných matematických metód, ako na základe predpublikovaných výsledkov Mansfielda a Wildbergera uvádzajú niektoré médiá.
Senzácia sa teda tak úplne nekoná. Napriek tomu si netreba zúfať. Odhaduje sa, že od začiatku obdobia vykopávok bolo objavených vyše 500 000 klinopisných tabuliek, z ktorých mnohé zostávajú nepreštudované ležať v univerzitných knižniciach a archívoch. Je pravdepodobné, že medzi týmito tabuľkami sa nachádzajú dosiaľ neznáme matematické a astronomické texty, ktoré potvrdia alebo vyvrátia teórie, ako je táto, alebo prinesú na svetlo sveta nečakané objavy. Ďalšie tabuľky sa pravdepodobne ešte nachádzajú v zemi a čakajú na svoje objavenie. Asýriológia je tak jednou z disciplín, kde je možné dúfať v prevratné objavy, ktoré budú prepisovať dejiny. Ak aj treba brať najnovšiu teóriu týkajúcu sa záhadnej tabuľky Plimpton 322 s rezervou, stále platí, že objavy na poli asýriológie ukazujú, že starovekí grécki vzdelanci, ako Hipparchus a Ptolemaios, nezačínali od nuly, ako sa to kedysi predpokladalo. Dnes je jasnejšie ako kedykoľvek predtým, že čerpali z bohatej, no nedochovanej mezopotámskej tradície a že mnohé grécke objavy a vynálezy, napríklad Pytagorova veta, boli v skutočnosti známe v starovekom Babylone po stáročia. Je celkom možné, že aj objav trigonometrie treba pripísať niektorému z Hipparchových babylonských predchodcov, a nie jemu samotnému. Na definitívnu odpoveď v tomto ohľade si však ešte musíme počkať.
Literatúra
- Neugebauer, O./Sachs, A.: Mathematical Cuneiform Texts. New Haven 1945.
- Mansfield, D. F./Wildberger, N. J.: Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica (2017). Dostupné na internete: http://dx.doi.org/10.1016/j.hm.2017.08.001.
Internetové zdroje
- http://news.nationalgeographic.com/2017/08/ancient-babylonian-trigonometry-tablet-plimpton-322-video-spd/
- https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/dont-fall-for-babylonian-trigonometry-hype/
- https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html
- http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html
- https://www.theguardian.com/science/2017/aug/24/mathematical-secrets-of-ancient-tablet-unlocked-after-nearly-a-century-of-study
- http://www.columbia.edu/cu/lweb/eresources/exhibitions/treasures/html/158.html
Obrazová príloha: Kolumbijská univerzita, A. Kelly
Vyštudovala latinský jazyk na Masarykovej univerzite v Brne a medievistiku na Utrecht University v Holandsku. Na Kráľovskej holandskej akadémii vied (Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen) dokončila doktorát o vedeckých komunitách v ranom stredoveku. V súčasnosti pôsobí na Huygensovom inštitúte v Amsterdame, kde sa venuje intelektuálnym sieťam a šíreniu inovácií v ranom stredoveku. Okrem HistoryWeb-u prispieva do viacerých blogov venujúcich sa histórii.